Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N*）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写出结果），并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+$$\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，若对任意的正整数n，不等式${t^2}-2t+\frac{1}{6}＞{b_n}$恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据迭代法即可求出数列的通项公式，
（2）根据裂项求和求出b_n，再利用定义证明数列{b_n}是单调递减数列，即可求出b_n的最大值，再解不等式即可求出t的范围

解答 解：（1）a₂=6，a₃=12
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）
当n=1时，a₁=2也满足上式，
∴a_n=n（n+1）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}+\frac{1}{{{a_{n+3}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}$，
=$\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}+\frac{1}{{（{n+2}）（{n+3}）}}$$+…+\frac{1}{{2n（{2n+1}）}}$，
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}$，
∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2n+3}-（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
=$\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n+1}-（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+3}}）$，
=$\frac{3n+3}{{2{n^2}+5n+2}}-\frac{3n+4}{{2{n^2}+5n+3}}＜0$，
∴b_n+1＜b_n，
则数列{b_n}是单调递减数列，
∴${（{b_n}）_{max}}={b_1}=\frac{1}{6}$，
∴${t^2}-2t+\frac{1}{6}＞{b_n}$$?{t^2}-2t+\frac{1}{6}＞\frac{1}{6}$?t²-2t＞0?t＜0或t＞2，
∴t∈（-∞，0）∪（2，+∞）

点评 本题考查了裂项求和、迭代求出数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．