Question

15．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值；
（Ⅱ）求a²b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由基本不等式可得$1=\sqrt{a}+\sqrt{b}≥2{（ab）^{\frac{1}{4}}}$，进而可得ab的最大值，由基本不等式分析可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，将$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$变形可得1=$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$=$\frac{\sqrt{a}}{2}$+$\frac{\sqrt{a}}{2}$+$\sqrt{b}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$1=\sqrt{a}+\sqrt{b}≥2{（ab）^{\frac{1}{4}}}$，可得$ab≤\frac{1}{16}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}≥\frac{2}{{\sqrt{\frac{1}{16}}}}=8$，
当且仅当$a=b=\frac{1}{4}$时等号成立，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为8．
（Ⅱ）因为$1=\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{{\sqrt{a}}}{2}+\frac{{\sqrt{a}}}{2}+\sqrt{b}≥3•\root{3}{{\frac{{\sqrt{a}}}{2}•\frac{{\sqrt{a}}}{2}•\sqrt{b}}}=3•\root{3}{{\frac{{a{b^{\frac{1}{2}}}}}{4}}}$，
即3•$\root{3}{\frac{a{b}^{\frac{1}{2}}}{4}}$≤1，
变形可得${a^2}b≤\frac{16}{729}$，即a²b的最大值为$\frac{16}{729}$，
当且仅当$\frac{{\sqrt{a}}}{2}=\sqrt{b}$，即$a=\frac{4}{9}$且$b=\frac{1}{9}$时，等号成立．

点评 本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件．