Question

1．已知函数f（x）=e^x-2x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a＜2-ln4且x＞0时，试比较f（x）与x²+（a-2）x+1的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极值即可；
（2）令g（x）=f（x）-x²-（a-2）x-1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而判断大小即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在（-∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
故当x=ln2时f（x）有极小值f（ln2）=2-2ln2，无极大值．
（2）令g（x）=f（x）-x²-（a-2）x-1=e^x-x²-ax-1，
g′（x）=e^x-2x-a=f（x）-a，
∴g′（x）_min=f（x）_min-a=2-2ln2-a，
∵a＜2-ln4∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
即f（x）＞x²+（a-2）x+1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．