Question

6．已知三棱锥S-ABC的三条侧棱相等，体积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，则三棱锥S-ABC外接球的体积为$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 设定点S在底面的投影为G，因为三棱锥S-ABC的三条侧棱相等，所以GA=GB=GC=r．三棱锥S-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{s}_{△ABC}×SO=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得SO=1，三棱锥S-ABC外接球球心O在SO上．

解答 解：如图设定点S在底面的投影为G，因为三棱锥S-ABC的三条侧棱相等，所以GA=GB=GC=r．
因为AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，则△ABC的外接圆半径r，2r=$\frac{AB}{sin3{0}^{0}}=2\sqrt{3}$，
三棱锥S-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{s}_{△ABC}×SG=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得SG=1
三棱锥S-ABC外接球球心为O．三棱锥S-ABC外接球半径R，则R²=（SG-R）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得R=2
棱锥S-ABC外接球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{32}{3}π$．
故答案为：$\frac{32π}{3}$

点评 本题考查了几何体的外接球，转化思想是解题关键，属于中档题．