Question

14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁，F₂，P分别为是C上异于长轴端点的动点，∠F₁PF₂的平分线交x轴于点M，当P在轴上的射影为F₂时，M恰为OF₂中点．
（1）求C的方程；
（2）过点F₂引PF₂的垂线交直线l：x=2于点Q，试判断直线PQ与C是否有其它公共点？说明理由．

Answer 1

分析 方法一：（1）由丨F₁F₂丨=2c，则c²=a²-1，求得直线PF₁的方程，利用点到直线的距离公式，求得a²c²=2，即可求得C的方程；
（2）求得$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$及$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根据向量数量积的坐标运算，求得y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y₀）²-4y₀²=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．
方法二：丨F₁F₂丨=2c，则c²=a²-1，利用正弦定理及三角形的相似性，求得丨PF₁丨=3丨PF₂丨，由椭圆定义及勾股定理，即可求得2c²=a²，即可求得a和b，求得椭圆方程；
（2）求得$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$及$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根据向量数量积的坐标运算，求得y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，求得PQ的方程，代入椭圆方程，△=（2y₀）²-4y₀²=0，则除P以外，直线PQ与C无其它公共点．

解答 解：（1）由题意可知：丨F₁F₂丨=2c，则c²=a²-1，①
由函数的对称性，设P在x轴上方，
则P在x轴上的射影为F₂，则P（c，$\frac{1}{a}$），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则直线PF₁的方程为x-2acy+c=0，
由丨OF₂丨=2丨OM丨，则丨OM丨=$\frac{c}{2}$，则M的坐标为（$\frac{c}{2}$，0），
则点M到直线PF₁的距离d=$\frac{丨\frac{c}{2}+c丨}{\sqrt{1+4{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{3c}{2\sqrt{1+4{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，整理得：a²c²=2，②
由①②可得：a²=2，c²=1，
则椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；

（2）除P以外，直线PQ与C无其他公共点，
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，则y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
则Q（2，y_Q），则$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-1，-y_Q），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，则$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
则x₀-1+y₀y_Q=0，则y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=$\frac{（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
则直线PQ的方程y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），整理得：2y₀y-2y₀²=-2x₀x+x₀²，x₀x+2y₀y-2=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀²+2y₀²）y²-4y₀y+2（2-x₀²）=0，即y²-2y₀y+y₀²=0，
由△=（2y₀）²-4y₀²=0，
∴除P以外，直线PQ与C无其它公共点．
方法二：（1）由题意可知：丨F₁F₂丨=2c，则c²=a²-1，①
由函数的对称性，设P在x轴上方，
由丨OF₂丨=2丨OM丨，则丨OM丨=$\frac{c}{2}$，则M的坐标为（$\frac{c}{2}$，0），
则丨MF₁丨=$\frac{3c}{2}$，丨MF₂丨=$\frac{c}{2}$，
在△PMF₁中，由正弦定理可知：$\frac{丨M{F}_{1}丨}{sin∠MP{F}_{1}}$=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠PM{F}_{1}}$，
则△PMF₂中，由正弦定理可知：$\frac{丨M{F}_{2}丨}{sin∠MP{F}_{2}}$=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠PM{F}_{2}}$，
由∠PMF₁=180°-∠PMF₂，
则sin∠PMF₁=sin∠PMF₂，
又由∠MPF₁=∠MPF₂，则$\frac{丨M{F}_{1}丨}{丨M{F}_{2}丨}$=$\frac{丨M{F}_{1}丨}{丨M{F}_{2}丨}$，故丨PF₁丨=3丨PF₂丨，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，则丨PF₁丨=$\frac{3}{2}$a，丨PF₂丨=$\frac{1}{2}a$，
由丨PF₁丨²=丨PF₂丨²+丨F₁F₂丨²，整理得：（$\frac{3}{2}$a）²=（$\frac{1}{2}a$）²+（2c）²，
整理得：2c²=a²，②
由①②可得：a²=2，c²=1，
则
椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）除P以外，直线PQ与C无其他公共点，
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，则y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
则Q（2，y_Q），则$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-1，-y_Q），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，则$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
则x₀-1+y₀y_Q=0，则y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=$\frac{（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
则直线PQ的方程y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），整理得：2y₀y-2y₀²=-2x₀x+x₀²，x₀x+2y₀y-2=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀²+2y₀²）y²-4y₀y+2（2-x₀²）=0，即y²-2y₀y+y₀²=0，
由△=（2y₀）²-4y₀²=0，
∴除P以外，直线PQ与C无其它公共点．

点评 本题考查椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，正弦定理及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．