Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{b}=\frac{cosB}{cosA}$，a=4，c=5．
（1）求边b的长；
（2）若$\frac{a}{b}＞1$，点E，F分别在线段AB，AC上，当${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$时，求△AEF周长l的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由正弦定理以及二倍角公式可得sin2A=sin2B，分析可得A=B或$A+B=\frac{π}{2}$，分2种情况讨论可得答案；
（2）根据题意，分析可得AE•AF=$\frac{1}{2}bc=\frac{15}{2}$，结合余弦定理可得EF=$\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，进而可得周长l=（AE+AF）$+\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意$\frac{a}{b}=\frac{cosB}{cosA}$，则有acosA=bcosB，
由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，∴A=B或$A+B=\frac{π}{2}$
当$A+B=\frac{π}{2}$时，△ACB为直角三角形，且C=$\frac{π}{2}$，易知b=3．
当A=B时，△ABC为等腰三角形且a=b，b=4．
（2）依题可知：a＞b，∴$∠C=\frac{π}{2}$，b=3，$cosA=\frac{3}{5}$．
依题：$\frac{1}{2}AE•AF•sinA$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}bc•sinA$⇒AE•AF=$\frac{1}{2}bc=\frac{15}{2}$．
由余弦定理$EF=\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-2AE•AFcosA}$=$\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，
周长l=（AE+AF）$+\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$$≥2\sqrt{AE•AF}$$+\sqrt{2AE•AF-9}$=$\sqrt{30}+\sqrt{6}$．
当$AE=AF=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$时，等号成立．

点评 本题考查三角形的几何计算，涉及三角函数的恒等变形，关键是熟悉三角函数的恒等变形公式．