Question

17．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则xy的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{9}$，$\frac{4}{9}$]
• B． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．

解答 解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
可得x+y=1，x，y∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
则xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
并且xy=x（1-x）=x-x²，函数的开口向下，对称轴为：x=$\frac{1}{2}$，当x=$\frac{1}{3}$或x=$\frac{2}{3}$时，取最小值，
xy的最小值为：$\frac{2}{9}$．
则xy的取值范围是：[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．