Question

5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的值；
（2）求y=2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小；
（2）依题意，可求得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，利用二倍角的余弦与两角差的余弦及正弦函数的单调性即可求得2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）由（1）知A+C=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴2sin²A+cos（A-C）
=1-cos2A+cos（2A-$\frac{2π}{3}$）
=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$cos2A+1
=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1，…（8分）
∵由于为锐角三角形，可得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴1＜$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
∴2sin²A+cos（A-C）的取值范围为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]．…（12分）

点评 本题考查正弦定理，三角形的内角和的应用，也可以利用余弦定理解答本题，注意角的范围的应用，考查计算能力，属于中档题．