Question

10．在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠BAC=30°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求FC与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BC，AC⊥FB，由此能证明AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）由CA，CF，CB两两垂直，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出FC与平面EAC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB=2BC，∠BAC=30°，
在△ABC中，由正弦定理得∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵AC⊥FB，BC∩FB，
∴AC⊥平面FBC．
解：（Ⅱ）∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC，
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD，
∴CA，CF，CB两两垂直，如图建立空间直角坐标系C-xyz，
在等腰梯形ABCD中，得CB=CD，
设BC=1，则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{CF}$=（0，0，1），
设平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设FC与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴FC与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．