Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的大小关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₁=3，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由a₁、a₂，a₃的值可猜想a_n≥n+2，再结合已知a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，利用数学归纳法证明即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）a₂=9-3+1=7，a₃=49-14+1=36，…（2分）
（Ⅱ）猜想a_n≥n+2，…（3分）
证明：①n=1时，3=1+2成立，…（4分）
②假设n=k（k∈N*）时，a_k≥k+2，…（5分）
n=k+1时，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1，…（6分）
∵a_k≥k+2＞0，
∴a_k-k≥2，
∴a_k（a_k-k）≥2（k+2），…（9分）       
∴a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥2（k+2）+1=（k+1）+2+k+1＞k+1+2，…（11分）
∴n=k+1时结论成立
综上：由①②知：a_n≥n+2…（12分）

点评 本题考查数列递推式的应用，突出考查数学归纳法，考查推理与证明能力，属于中档题．