Question

10．已知向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{2}+x），sin（\frac{π}{2}+x））$，$\overrightarrow b=（-sinx，\sqrt{3}sinx）$，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性以及最值，从而求得函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值．
（2）利用余弦定理以及基本不等式，求得三角形ABC面积的最大值．

解答 解：（1）易得$\overrightarrow a=（-sinx，cosx）$，
则f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$时，
即$x=\frac{π}{3}+kπ，（k∈Z）$，f（x）取最大值$\frac{3}{2}$．
（2）锐角三角形ABC中，∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴12=b²+c²-bc，
∴b²+c²=12+bc≥2bc，∴bc≤12．（当且仅当b=c时等号成立）
∴S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤3$\sqrt{3}$．
∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性以及最值，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．