Question

6．已知函数f（x）=|x+2|．
（1）解不等式2f（x）＜4-|x-1|；
（2）已知m+n=1（m＞0，n＞0），若不等式$|{x-a}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过去掉绝对值符号化简不等式求解即可．
（2）利用基本不等式求解最值，利用绝对值不等式的几何意义转化恒成立不等式求解a的范围即可．

解答 解：（1）不等式2f（x）＜4-|x-1|等价于2|x+2|+|x-1|＜4，即$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\-2（{x+2}）-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜1\\ 2（{x+2}）-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2（{x+2}）+x-1＜4\end{array}\right.$．解得$\left\{{x|-\frac{7}{3}＜x≤-2}\right\}$或{x|-2＜x-1}或∅，
所以不等式的解集为$\left\{{x|-\frac{7}{3}＜x＜-1}\right\}$．
（2）因为|x-a|-f（x）=|x-a|-|x+2|≤|x-a-x-2|=|a+2|，所以|x-a|-f（x）的最大值是|a+2|，
又m+n=1（m＞0，n＞0），于是$（{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}）（{m+n}）=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}+2≥2+2=4$，∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为4．
要使$|{x-a}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的恒成立，则|a+2|≤4，解此不等式得-6≤a≤2．
所以实数a的取值范围是[-6，2]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查计算能力．