Question

11．已知A，B分别为椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右顶点，P为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别记为k₁，k₂．
（1）求k₁k₂；
（2）过坐标原点O作与直线PA，PB平行的两条射线分别交椭圆C于点M，N，问：△MON的面积是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设P（x₀，y₀），由此表示k₁k₂，结合椭圆的标准方程分析可得答案；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），结合（1）的结论可得S的表达式，联立直线与椭圆的位置关系，可得x₁、x₂的值，将其代入S的表达式，化简变形即可得答案．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），
则${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{{y_0}^2}}{{-2{y_0}^2}}=-\frac{1}{2}$；
（2）由题知，直线OM：y=k₁x，直线ON：y=k₂x，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$S=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|=\frac{1}{2}|{x_1}•{k_2}{x_2}-{x_2}•{k_1}{x_1}|=\frac{1}{2}|（{k_1}-{k_2}）{x_1}{x_2}|$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=4\\ y={k_1}x\end{array}\right.⇒{x_1}^2=\frac{4}{{1+2{k_1}^2}}$，
同理可得${x_2}^2=\frac{4}{{1+2{k_2}^2}}$，
故有$4{S^2}={（{k_1}-{k_2}）^2}•\frac{4}{{1+2{k_1}^2}}•\frac{4}{{1+2{k_2}^2}}=\frac{{16（{k_1}^2+{k_2}^2-2{k_1}{k_2}）}}{{4{k_1}^2{k_2}^2+2（{k_1}^2+{k_2}^2）+1}}$，
又${k_1}{k_2}=-\frac{1}{2}$，故$4{S^2}=\frac{{16（{k_1}^2+{k_2}^2+1）}}{{2+2（{k_1}^2+{k_2}^2）}}=8$，
∴$S=\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，解（1）时要充分利用椭圆的标准方程．