Question

16．设f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（a）＞1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）≤2a（a∈R），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（a）＞1，即|2a|-|a+1|＞1，分类讨论，即可求不等式f（a）＞1的解集；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a-1|．令|a-1|≤2a，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（a）＞1，即|2a|-|a+1|＞1，
a≤-1，不等式化为-2a+a+1＞1，即a＜0，∴a≤-1；
-1＜a≤0，不等式化为-2a-（a+1）＞1，即a＜-$\frac{2}{3}$，∴-1＜a＜-$\frac{2}{3}$；
a＞0，不等式化为2a-（a+1）＞1，即a＞2，∴a＞2，
故不等式的解集为{a|a＜-$\frac{2}{3}$或a＞2}；
（Ⅱ）f（x）=|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a-1|．
令|a-1|≤2a，
显然a＞0，两边平方得a²-2a+1≤4a²，即3a²+2a-1≥0，
∴a≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．