Question

8．如图，以锐角△ABC的边BC为直径的半圆分别与AC、AB交于点D、E，BD、CE的交点为H，且BC=2．
（Ⅰ）证明：AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）求BE•BA+CD•CA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△BAD∽△CHD，即可证明AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）延长AH交BC于F，AF⊥BC，A，E，F，C四点共圆，A，B，F，D四点共圆，由割线定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，即可求BE•BA+CD•CA的值．

解答 （Ⅰ）证明：因为以BC为直径的半圆分别与AC，AB交于点D，E
所以∠BDC=∠ADB=90°，
所以 A，E，H，D四点共圆
所以∠BAD=∠CHD
所以△BAD∽△CHD（AA）
所以$\frac{AB}{HC}=\frac{BD}{CD}$，所以AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）解：∵BC是直径，∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴H为△ABC的垂心，
故延长AH交BC于F，AF⊥BC，
∴A，E，F，C四点共圆，A，B，F，D四点共圆，
由割线定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，
两式相加可得BE•BA+CD•CA=BF•BC+CF•CB=BC²=4
∴所求代数式的值是4．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查割线定理的运用，属于中档题．