Question

18．已知函数f（x）=xlnx-e^x+1
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f（1）与f′（1）的值，代入直线方程的点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx-e^x+1-sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜e^x+sinx-1在（0，+∞）上恒成立，然后分0＜x≤1与x＞1证明，当0＜x≤1时成立，当x＞1时，令g（x）=e^x+sinx-1-xlnx，然后两次求导即可证明f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=lnx+1-e^x，
f（1）=1-e，f′（1）=1-e，
故切线方程是：y-1+e=（1-e）（x-1），
即（1-e）x-y=0；
（Ⅱ）证明：要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，
即xlnx-e^x+1-sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜e^x+sinx-1在（0，+∞）上恒成立，
当0＜x≤1时，e^x+sinx-1＞0，xlnx≤0，
故xlnx＜e^x+sinx-1，也就是f（x）＜sinx；
当x＞1时，令g（x）=e^x+sinx-1-xlnx，
g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
令h（x）=g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
h′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}-sinx$＞0，故h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=e+cos1-1＞0，即g′（x）＞0，则g（x）＞g（1）=e+sin1-1＞0，
即xlnx＜e^x+sinx-1，即f（x）＜sinx，
综上所述，f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，利用两次求导判断函数的单调性是解答该题的关键，是压轴题．