Question

7．在正项等差数列{a_n}中a₁和a₄是方程x²-10x+16=0的两个根，若数列{log₂a_n}的前5项和为S₅且S₅∈[n，n+1]，n∈Z，则n=11．

Answer 1

分析 推导出a_n=2n，从而log₂a_n=log₂（2n）=1+log₂n，进而S₅=5+log₂1+log₂2+log₂3+log₂4+log₂5=8+log₂15，由此能求出结果．

解答 解：∵在正项等差数列{a_n}中a₁和a₄是方程x²-10x+16=0的两个根，
∴a₁＜a₄，解方程得：a₁=2，a₄=8，d=$\frac{8-2}{4-1}$=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
∴log₂a_n=log₂（2n）=1+log₂n，
数列{log₂a_n}的前5项和为S₅且S₅∈[n，n+1]，n∈Z，
∴S₅=5+log₂1+log₂2+log₂3+log₂4+log₂5=8+log₂15∈[11，12]，
∴n=11．
故答案为：11．

点评 本题考查实数值的求法，考查等差数列性质，考查韦达定理、考查对数性质及运算法则，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．