Question

9．设F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{9}$与线段PF交于A、B两点，若A、B三等分线段PF，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{5}$

Answer 1

分析 取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得a=5d

解答 解：如图，取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE．
∵A、B三等分线段PF，∴H也是AB中点，即OH⊥AB
设OH=d，则PE=2d，PF=2a-2d，AH=$\frac{a-d}{3}$，
在Rt△OHA中，OA²=OH²+AH²，解得a=5d．
在Rt△OHF中，FH=$\frac{4}{5}a$，OH=$\frac{a}{5}$，OF=c，由OF²=OH²+FH²
化简得17a²=25c²，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{5}$．即C的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a，b，c的关系式，最后化归为a，c（或e）的关系式，利用方程求解．属于中档题．