Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=1，S₅=15，数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=（n+5）a_n
（1）求a_n
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）运用数列的递推式：当n=1时，b₁=T₁；n≥2时，b_n=T_n-T_n-1．可得b_n=2n+4，则$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₂=1，S₅=15，即为a₁+d=2，5a₁+$\frac{1}{2}$×5×4d=15，
解得a₁=d=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N*；
（2）T_n=（n+5）a_n=n（n+5），
当n=1时，b₁=T₁=6；
n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=n（n+5）-（n-1）（n+4）=2n+4，
上式对n=1也成立．
则$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有数列{$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和为$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1$+\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4（n+1）}$-$\frac{1}{4（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列递推式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．