Question

4．函数f（x）=x（x-c）²在x=1处有极小值，则实数c为（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． 1或3
• D． -1

Answer 1

分析 由f′（x）=3x²-4cx+c²，根据函数f（x）=x（x-c）²在x=1处有极小值，得f′（1）=3-4c+c²=0，求出c=1或c=3，再把c=1和c=3分别代入f′（x）中，由此利用导数性质能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
∴f′（x）=3x²-4cx+c²，
∵函数f（x）=x（x-c）²在x=1处有极小值，
∴f′（1）=3-4c+c²=0，
解得c=1或c=3，
当c=1时，f′（x）=3x²-4x+1，
由f′（x）＞0，得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；由f′（x）＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴增区间是（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），减区间是（$\frac{1}{3}$，1），
当x=1时，f（x）取极小值，故c=1成立；
当c=3时，f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；由f′（x）＜0，得1＜x＜3．
∴增区间是（-∞，1），（3，+∞），减区间是（1，3），
当x=1时，f（x）取极大值，故c=3不成立．
综上：实数c为1．
故选：B．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．