Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C₁和C₂是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；
（Ⅲ）设A（a，b）是曲线C₁上任意一点，请直接写出a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的参数方程求出曲线C₁的直角坐标方程，由曲线C₂的极坐标方程求出曲线C₂的直角坐标方程，由此能求出结果．
（Ⅱ）联立曲线C₁和C₂的直角坐标方程，得3y²+2y-4=0，由此利用图形对称性知公共点的个数为2．
（Ⅲ）利用椭圆参数方程的性质能求出a+2b的取值范围．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t为参数），
∴由题设知曲线C₁的直角坐标方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
∴曲线C₁表示以$（±\sqrt{3}，0）$为焦点，中心为原点的椭圆．…（3分）
∵曲线C₂：ρ=2sinθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程是x²+y²-2y=0．
∴曲线C₂表示以（0，1）为圆心，半径是1的圆．…（5分）
（Ⅱ）联立曲线C₁和C₂的直角坐标方程，得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\{x^2}+{y^2}-2y=0\end{array}\right.$．
消去x，得3y²+2y-4=0，
解得$y=\frac{{\sqrt{13}-1}}{3}$或$y=\frac{{-\sqrt{13}-1}}{3}（舍）$．
由图形对称性知公共点的个数为2．…（8分）
（Ⅲ）a+2b的取值范围是$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$． …（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查两曲线交点个数的求法，考查代数式的取值范围的求法，考查化归转化思想、函数与方程思想，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．