Question

10．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

步数 性别	0～2000	2001～5000	5001～8000	8001～10000	＞10000
男	1	2	3	6	8
女	0	2	10	6	2

（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

	积极型	懈怠型	总计
男	14	8	22
女	6	12	18
总计	20	20	40

附：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设ξ=|X-Y|，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意完成下面的2×2列联表，求出K²=$\frac{40}{11}＜3.841$，由此能没有95%以上的把握认为二者有关．
（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为$\frac{1}{8}$，超过10000步的概率为$\frac{1}{4}$，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）根据题意完成下面的2×2列联表：

	积极型	懈怠型	总计
男	14	8	22
女	6	12	18
总计	20	20	40

解得${K^2}=\frac{{40×{{（14×12-6×8）}^2}}}{20×20×22×18}=\frac{40}{11}＜3.841$，
故没有95%以上的把握认为二者有关．
（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为$\frac{1}{8}$，超过10000步的概率为$\frac{1}{4}$，
且当X=Y=0或X=Y=1时，ξ=0，$P=\frac{5}{8}×\frac{5}{8}+C_2^1\frac{1}{8}•\frac{1}{4}=\frac{29}{64}$，
当X=1，Y=0或X=0，Y=1时，ξ=1，$P=C_2^1\frac{1}{8}•\frac{5}{8}+C_2^1\frac{1}{4}•\frac{5}{8}=\frac{30}{64}$，
当X=2，Y=0或X=0，Y=2时，ξ=2，$P={（\frac{1}{4}）^2}+{（\frac{1}{8}）^2}=\frac{5}{64}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{29}{64}$	$\frac{30}{64}$	$\frac{5}{64}$

Eξ=$0×\frac{29}{64}+1×\frac{30}{64}+2×\frac{5}{64}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查独立检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．