Question

20．我国古代数学名著《九章算术》中有：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除即三个面是等腰梯形、两侧面是三角形的五面梯形ABCDEF隧道（如图），其中，等腰梯形ABCD的下、上底边长分别为6尺和1丈，高为3尺，平面ABCD⊥平面ABFE，等腰梯形ABFE的上底边长为8尺，高为7尺，则得到此“羡除”的容积（　　）

• A． 约84立方尺
• B． 约为105立方尺
• C． 恰为84立方尺
• D． 恰为105立方尺

Answer 1

分析 五面体EF-ABCD中，四边形ADEF，ABCD，EFBC均为等腰梯形，EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均为直角三角形，连接BE，BD，AE，得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V₁，三棱锥BAED的体积为V₂，三棱锥BDEC的体积为V₃，由此能求出五面体的体积．

解答 解：本题是求规则形状的五面体的体积，
如图，五面体EF-ABCD中，四边形ADEF，ABCD，EFBC均为等腰梯形，
EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均为直角三角形，
AB⊥AF，CD⊥DE，设下广EF=a，上广AD=b，末广BC=c，
高EF到平面ABCD的距离为h，AD与BC的距离为l，
连接BE，BD，AE，如图2，
得到三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V₁，三棱锥BAED的体积为V₂，三棱锥BDEC的体积为V₃，
则${V}_{3}=\frac{1}{6}clh$，${V}_{2}=\frac{1}{6}blh$，$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{b}{a}$，${V}_{1}=\frac{a}{b}{V}_{2}$，
∴${V}_{1}=\frac{a}{b}{{V}_{2}}^{\;}$=$\frac{1}{6}alh$，
∴五面体的体积：
V=V₁+V₂+V₃=$\frac{1}{6}$（a+b+c）×h×l=$\frac{1}{6}$（6+10+8）×3×7=84（立方尺）．
故选：C．

点评 本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题．