Question

11．某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30$\sqrt{3}$nmile，CD=250$\sqrt{6}$nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 求出AD，可得∠DAC=90°，即可得出结论．

解答 解：由题意，AC=$\sqrt{6400+1600+2700+2400\sqrt{3}-2×80×（40+30\sqrt{3}）×\frac{1}{2}}$=50$\sqrt{3}$nmile，
60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile
∵$\frac{50\sqrt{3}}{80}$=$\frac{50\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$∴sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠ACD=cos（135°-∠ACB）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴AD=$\sqrt{7500+62500×6-2×50\sqrt{3}×250\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{10}}$=350$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAC=$\frac{7500+122500×3-62500×6}{2×50\sqrt{3}×350\sqrt{3}}$=0，∴∠DAC=90°，
∴CD′=$\sqrt{2500+7500}$=100，∴∠AD′C=60°，
∴sinθ=sin（75°-60°）=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，
故答案为$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．