Question

19．已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥x+（1-x）•e^x在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，分a≤0，a＞0讨论；
（Ⅱ）f（x）≥x+（1-x）e^x，即e^x-ax²≥x+e^x-xe^x，即e^x-ax-1≥0，
令h（x）=e^x-ax-1，分a≤1，a＞1讨论求得实数a的取值范围；

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f'（x）=e^x-2ax，g'（x）=e^x-2a，
当a≤0时，g'（x）＞0恒成立，g（x）无极值；
当a＞0时，g'（x）=0，即x=ln（2a），
由g'（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g'（x）＜0，得x＜ln（2a），
所以当x=ln（2a）时，有极小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）f（x）≥x+（1-x）e^x，即e^x-ax²≥x+e^x-xe^x，即e^x-ax-1≥0，
令h（x）=e^x-ax-1，则h'（x）=e^x-a，
当a≤1时，由x≥0知h'（x）≥0，∴h（x）≥h（0）=0，原不等式成立，
当a＞1时，h'（x）=0，即x=lna，h'（x）＞0，得x＞lna；h'（x）＜0，得x＜lna，
所以h（x）在（0，lna）上单调递减，
又∵h（0）=0，∴a＞1不合题意，
综上，a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用，分类讨论思想、转化思想，属于中档题．