Question

5．边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，M为AD上的点，AE=1，AM=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求证：EM⊥BD；
（Ⅱ）设点F是棱BC上一点，若二面角A-DE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，试确定点F在BC上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AE⊥平面CDE，可得AE⊥DE，AE⊥CD，由已知可得AD⊥CD，利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ADE，得到CD⊥ME，求解△AME中可得ME⊥AM．从而得到ME⊥平面ABCD，即ME⊥BD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥DE，建立空间直角坐标系D-xyz，可得D，C，E，A的坐标，求出所用向量的坐标，求得平面FDE与平面ADE的法向量，利用两法向量所成角的余弦值列式求解点F在BC上的位置．

解答 （Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，AE⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面ADE，则CD⊥ME，
∵AD=2，AE=1，∴∠DAE=60°，
在△AME中，AE=1，AM=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AE²=AM²+ME²，则ME⊥AM．
∴ME⊥平面ABCD，
∴ME⊥BD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥DE，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），C（0，2，0），E（$\sqrt{3}，0，0$），A（$\sqrt{3}，0，1$），
∴$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}$，则B（$\sqrt{3}，2，1$）．
设$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CB}=λ（\sqrt{3}，0，1）$，λ∈[0，1]，则F（$\sqrt{3}λ，2，λ$），
设平面FDE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\sqrt{3}λx+2y+λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取z=-2，则$\overrightarrow{n}=（0，λ，-2）$，
又平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得$λ=\frac{2}{3}$．
故当点F满足$\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$时，二面角A-DE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求二面角的平面角，是中档题．