Question

14．已知函数f（x）=x³-2x²-4x．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²-4x-4，利用导数性质能求出函数y=f（x）的单调增区间和单调减区间．
（2）由f′（x）=3x²-4x-4=0，得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=2，列表讨论能求出f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-2x²-4x，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
由f′（x）＞0，得x＜-$\frac{2}{3}$或x＞2，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴函数y=f（x）的单调增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$），[2，+∞）；单调减区间是[-$\frac{2}{3}$，2]．
（2）由f′（x）=3x²-4x-4=0，
得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=2，
列表，得：

x	-1	（-1，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	↑	$\frac{40}{27}$	↓	-8	↑	16

∴f（x）在[-1，4]上的最大值为f（x）_max=f（4）=16，最小值为f（x）_min=f（2）=-8．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．