Question

10．已知直线ax-2by=2（a＞0，b＞0）过圆x²+y²-4x+2y+1=0的圆心，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 圆心为（2，-1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，利用基本不等式，即可求出$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：圆心为（2，-1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，则有$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=4$，（当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等号）
故答案为4．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．