Question

14．如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，△PBC是等边三角形，点A在平面PBC的正投影E恰好是PB中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE
（Ⅱ）若AB⊥PA，BC=2，求点P到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD交AC于点F，推导出PD∥EF，由此能证明PD∥平面ACE．
（Ⅱ）推导出AE⊥平面PBC，AB⊥PA，设点P到平面ABCD的距离为d，由V_P-ABC=V_A-PBC，能求出点P到平面ABCD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点F．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，
又E是PB的中点，∴PD∥EF，
又PD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴PD∥平面ACE．
解：（Ⅱ）∵点A在平面PBC的正投影恰好是PB的中点，
∴AE⊥平面PBC，E是PB的中点，
又CE，PB?平面PBC，∴AE⊥CE，AE⊥PB．
在△PAB中，E是PB的中点，AB⊥PA，
∴△PAB是等腰直角三角形，AE=1，AB=$\sqrt{2}$，
在等边△PBC中，CE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2，
在等腰△ABC中，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
设点P到平面ABCD的距离为d，
由V_P-ABC=V_A-PBC，得$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d=\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•AE$，
∴点P到平面ABCD的距离d=$\frac{AE•{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．