Question

1．已知平面内一动点M到两定点$B_1^{\;}（{0，-1}），B_2^{\;}（{0，1}）$和连线的斜率之积为$-\frac{1}{2}$
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线l：y=x+m与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出M的坐标，结合题意列式化简得答案；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）设M的坐标为（x，y），
依题意得：$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}=-\frac{1}{2}$，
化简得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
∵直线与椭圆有两个不同交点，
由根与系数的关系得：${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，即$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$且m≠-1，0，1．
设A，B中点为C，C点横坐标为${x}_{C}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{C}={x}_{C}+m=\frac{m}{3}$．
∴$C（-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}）$，
∴线段AB的垂直平分线方程为$y-\frac{m}{3}=-（x+\frac{2m}{3}）$，
∴P点坐标为（$-\frac{m}{3}，0$）．
P到AB的距离d=$\frac{|\frac{2}{3}m|}{\sqrt{2}}$．
由弦长公式得：|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+x）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}•\sqrt{24-8{m}^{2}}$．
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×\frac{|\frac{2}{3}m|}{\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$$≤\frac{2\sqrt{2}}{9}•\frac{{m}^{2}+3{-m}^{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
当且仅当${m}^{2}=\frac{3}{2}$，即m=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$∈（$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$）时等号成立．
∴△PAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，是中档题．