Question

9．已知f（x）=bx-b，g（x）=（bx-1）e^x，b∈R
（Ⅰ）若b≥0，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）分离参数，问题转化为b＜$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$有两个整数解，得到关于b的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）g′（x）=e^x（bx+b-1），
b=0时，g′（x）＜0在R恒成立，
即g（x）在R递减，
b＞0时，g′（x）＞0的解集是{x|x＞$\frac{1}{b}$-1}，
即g（x）在（$\frac{1}{b}$-1，+∞）递增，在（-∞，$\frac{1}{b}$-1）递减；
（Ⅱ）由不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，
b则a（xe^x-x+1）＜e^x有两个整数解．
因为y=x（e^x-1）+1，当x＞0时，e^x-1＞0，x（e^x-1）+1》＞0；
当x＜0时，e^x-1＜0，x（e^x-1）+1＞0，
所以，b＜$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$有两个整数解，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}-x+1）}^{2}}$，
令h（x）=2-x-e^x，则h′（x）=-1-e^x＜0，
又h（0）=1＞0，h（（1）=1-e＜0，
所以?x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，
∴g（x）在为增函数，在（x₀，+∞）为减函数，
∴b＜$\frac{{e}^{x}}{{xe}^{x}-x+1}$有两个整数解的充要条件是：
$\left\{\begin{array}{l}{b＜g（0）=1}\\{b＜g（1）=1}\\{b≥g（-1）=\frac{1}{2e-1}}\\{b≥g（2）=\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{{e}^{2}}{{2e}^{2}-1}$≤b＜1．

点评 本题考查了函数函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．