Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．焦距为2c，且c，$\sqrt{2}$，2成等比数列．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点B坐标为（0，$\sqrt{2}$），问是否存在过点B的直线1交椭圆C于M，N两点，且满足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）？若存在，求出此时直线l的方程．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：（$\sqrt{2}$）²=2c，椭圆的离心率可得a=$\sqrt{2}$c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，直线l的方程．

解答 解：（I）由题意离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由c，$\sqrt{2}$，2成等比数列则（$\sqrt{2}$）²=2c，即c=1，a=$\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）存在过点B的直线1交椭圆C于M，N两点，且满足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$，
由题意可知：直线MN的斜率存在，则直线MN的方程y=kx+$\sqrt{2}$，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，
则△=（4$\sqrt{2}$k）²-4×（1+2k²）×2＞0，整理得：k²＞$\frac{1}{2}$，解得：k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
则y₁y₂=（kx₁+$\sqrt{2}$）（kx₂+$\sqrt{2}$）=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0，整理得：k²=2，解得：k=$\sqrt{2}$或k=-$\sqrt{2}$，
则直线y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$，
综上可知：存在这样的直线y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$椭圆C于M，N两点，且满足$\overrightarrow{OM}$$⊥\overrightarrow{ON}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．