Question

17．已知函数f（x）=lnx+（1-a）x³+bx，g（x）=xe^x-b（a，b∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（$\frac{1}{e}$+1）x
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤g（x）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（e），再求出f（e），结合f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（$\frac{1}{e}+1$）x列关于a，b的方程组求得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=lnx+x，g（x）=xe^x-1，且f（x）的定义域为（0，+∞），令F（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-xe^x+1，利用导数求其最大值小于等于0得答案．

解答 （Ⅰ）解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}+3（1-a）{x}^{2}+b$，
∴f′（e）=$\frac{1}{e}+3（1-a）{e}^{2}+b$，且f（e）=1+（1-a）e³+be，
又f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（$\frac{1}{e}+1$）x，
∴切点为（e，1+e），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}+3（1-a）{e}^{2}+b=\frac{1}{e}+1}\\{1+（1-a）{e}^{3}+be=1+e}\end{array}\right.$，
解得：a=b=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知f（x）=lnx+x，g（x）=xe^x-1，且f（x）的定义域为（0，+∞），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-xe^x+1，
则F′（x）=$\frac{1}{x}+1-{e}^{x}-x{e}^{x}=\frac{1+x}{x}-（x+1）{e}^{x}=（x+1）（\frac{1}{x}-{e}^{x}）$，
令G（x）=$\frac{1}{x}-{e}^{x}$，可知G（x）在（0，+∞）上为减函数，且G（$\frac{1}{e}$）=2-$\sqrt{e}＞0$，G（1）=1-e＜0，
∴?x₀∈（$\frac{1}{2}，1$），使得G（x₀）=0，即$\frac{1}{{x}_{0}}-{e}^{{x}_{0}}=0$，
当x∈（0，x₀）时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，则F（x）为增函数；
当x∈（x₀，+∞）时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，则F（x）为减函数．
∴F（x）≤F（x₀）=$ln{x}_{0}+{x}_{0}-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}+1$，
又∵$\frac{1}{{x}_{0}}-{e}^{{x}_{0}}=0$，∴$\frac{1}{{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，即lnx₀=-x₀，
∴F（x₀）=0，即F（x）≤0，
∴f（x）≤g（x）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了利用导数证明函数不等式，是中档题．