Question

19．某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55），第二组[55，60），…，第五组[70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a：4：10．
（1）求a的值，并求这50名学生心率的平均数；
（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由．
参考数据：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

	心率小于60次/分	心率不小于60次/分	合计
体育生	8	12	20
艺术生	2	28	30
合计	10	40	50

Answer 1

分析 （1）求出各组的频数，即可求a的值，可得这50名学生心率的平均数．
（2）由（1）知，第一组和第二组的学生共10名，从而体育考生有10×0.8=8名，求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（1）因为第二组数据的频率为 0.032×5=0.16，故第二组的频数为0.16×50=8，
第一组的频数为2a，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的频数为4
所以 2a=50-20-16-8-4=2⇒a=1；
这50名学生心率的平均数为$52.5×\frac{2}{50}+57.5×\frac{8}{50}$+$62.5×\frac{20}{50}$+$67.5×\frac{16}{50}+72.5×\frac{4}{50}$=63.7；
（2）由（1）知，第一组和第二组的学生共10名，从而体育考生有10×0.8=8名，

	心率小于60次/分	心率不小于60次/分	合计
体育生	8	12	20
艺术生	2	28	30
合计	10	40	50

∴K²=$\frac{50（8×28-2×12）^{2}}{10×40×20×30}$≈8.333＞7.879，
∴有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关．

点评 本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．