Question

10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcosθ+2ρsinθ+3$\sqrt{2}$=0，ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$
（Ⅰ）求直线l与椭圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P是直线l上的动点，Q为椭圆C上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出线l的直角坐标方程和椭圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）设Q（2cosα，sinα），由点到直线的距离公式能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+3$\sqrt{2}$=0，
ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴直线l的直角坐标方程为：x+2y+3$\sqrt{2}$=0．
∵椭圆C的极坐标方程为ρ²=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
即ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，
∴椭圆C的直角坐标方程为x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴设Q（2cosα，sinα），
∴点Q到直线l的距离d=$\frac{|2cosα+2sinα+3\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}|}{\sqrt{5}}$，
∴当$α=2kπ+\frac{5π}{4}$，k∈Z时，d取最小值$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴|PQ|的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线、椭圆的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查点到直线距离公式的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．