Question

11．为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分，绿灯闪亮的概率为$\frac{1}{2}$；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为$\frac{2}{5}$．玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．
（1）记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）记某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率．

Answer 1

分析 （1）随机变量X的所有可能取值为110，50，30，-30，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；
（2）设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次，列不等式求出n的值，再计算“某人玩5次游戏B能兑换奖品”的概率值．

解答 解：（1）随机变量X的所有可能取值为110，50，30，-30，分别对应以下四种情况：
①玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，出现音乐；
②玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，出现音乐；
③玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐；
④玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐，
所以$P（X=110）=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，
$P（X=50）=（1-\frac{1}{2}）×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，
$P（X=30）=\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{3}{10}$，
$P（X=-30）=（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{2}{5}）=\frac{3}{10}$，
即X的分布列为：

X	110	50	30	-30
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$

数学期望为$EX=110×\frac{1}{5}+50×\frac{1}{5}+30×\frac{3}{10}-30×\frac{3}{10}=32$；
（2）设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次，则没出现音乐5-n次，
依题意得60n-20（5-n）≥130，
解得$n≥\frac{23}{8}$，
所以n=3或4或5；
设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M，
则$P（M）=C_5^3×{（\frac{2}{5}）^3}×{（\frac{3}{5}）^2}+C_5^4×{（\frac{2}{5}）^4}×\frac{3}{5}+{（\frac{2}{5}）^5}=\frac{992}{3125}$．

点评 本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的应用问题，是基础题．