Question

16．倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若$|{BC}|=\frac{8}{3}$，则a=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得焦点即准线方程．根据三角形的相似关系，求得2丨EF丨=丨CF丨，根据抛物线的定义，即可求得a的值．

解答 解：过A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分别为D和G，准线l交x轴于E，
由抛物线的焦点（$\frac{a}{4}$，0），准线方程x=-$\frac{a}{4}$，
则丨EF丨=$\frac{a}{2}$，且丨BG丨=丨BF丨，
由∠AFx=$\frac{π}{3}$，则∠FCD=$\frac{π}{6}$，
sin∠FCD=$\frac{丨BG丨}{丨BC丨}$=$\frac{丨EF丨}{丨CF丨}$=$\frac{1}{2}$，
$|{BC}|=\frac{8}{3}$，则丨BG丨=$\frac{4}{3}$，
由2丨EF丨=丨CF丨，即2×$\frac{a}{2}$=丨BC丨+丨BF丨=$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{3}$=4，
故a=4，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．