Question

13．已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x²+y²-4x+3=0的圆心F．经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限．
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设抛物线E的方程为y²=2px，由圆的方程分析可得圆心及半径，即可得$\frac{p}{2}=2$，解得p的值，代入抛物线的方程可得答案；
（2）根据题意，由等差数列的性质分析可得|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10，分两种情况讨论：若l垂直于x轴，分析易得此时不满足题意，若l不垂直于x轴，设l的斜率为k，可以设出l的方程为y=k（x-2），联立直线与抛物线的方程结合根与系数的关系分析可得k的值，代入直线方程中可得直线的方程，即可得答案．

解答 解：（1）根据已知设抛物线E的方程为y²=2px（p＞0）．
∵圆F的方程为（x-2）²+y²=1，
∴圆心F的坐标为F（2，0），半径r=1．
∴$\frac{p}{2}=2$，解得p=4．
∴抛物线E的方程为y²=8x．
（2）根据题意，∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8．
∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10．
若l垂直于x轴，则l的方程为x=2，代入y²=8x，得y=±4．
此时|AD|=|y₁-y₂|=8≠10，即直线x=2不满足题意．
若l不垂直于x轴，设l的斜率为k，由已知得k≠0，l的方程为y=k（x-2）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}$．
∵抛物线E的准线为x=-2，
∴|AD|=|AF|+|DF|=（x₁+2）+（x₂+2）=x₁+x₂+4，
∴$\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}+4=10$，解得k=±2．
当k=±2时，k²x²-（4k²+8）x+4k²=0化为x²-6x+4=0，
∵△=（-6）²-4×1×4＞0，∴x²-6x+4=0有两个不相等实数根．
∴k=±2满足题意，即直线y=±2（x-2）满足题意．
∴存在满足要求的直线l，它的方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．

点评 本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，注意分析直线的斜率是否存在．