Question

5．某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．
（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；
（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？
（3）现在从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出分数在110-120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120-125内的学生的频率，由此能求出分数在120-125内的人数．
（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．
（3）由题意分数在115-120内有学生6名，其中男生有2名．设女生为A₁，A₂，A₃，A₄，男生为B₁，B₂，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．

解答 解：（1）分数在110-120内的学生的频率为P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，
所以该班总人数为$N=\frac{14}{0.35}=40$．
分数在120-125内的学生的频率为：P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.10，
分数在120-125内的人数为n=40×0.10=4．
（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，

即为$\frac{105+110}{2}=107.5$．
设中位数为a，∵0.01×5+0.04×5+0.05×5=0.50，∴a=110．
∴众数和中位数分别是107.5，110．
（3）由题意分数在115-120内有学生40×（0.03×5）=6名，其中男生有2名．
设女生为A₁，A₂，A₃，A₄，男生为B₁，B₂，从6名学生中选出2名的基本事件为：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₁），（A₄，B₁），
（A₃，B₁），（A₄，B₂），（A₃，B₁），（B₁，B₂），共15种，
其中至多有1名男生的基本事件共14种，
∴其中至多含有1名男生的概率为$P=\frac{14}{15}$．

点评 本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关键是正确理解获奖的情形，解题时要要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．