Question

16．已知函数f（x）=|x+1|+|2x+a|，若f（x）的最小值为2．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，且m，n均为正实数，且满足m+n=a，求m²+n²的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可；
（2）求出m+n=6，根据不等式的性质求出m²+n²的最小值即可．

解答 解：（1）①当$-1＞-\frac{a}{2}$时，即a＞2时，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-（1+a），x≤-\frac{a}{2}\\ x+a-1，-\frac{a}{2}＜x＜-1\\ 3x+（a+1），x≥-1\end{array}\right.$，
则当$x=-\frac{a}{2}$时，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{a}{2}）=|{-\frac{a}{2}+1}|+|{-a+a}|=2$，
解得a=6或a=-2（舍）；
②当$-1＜-\frac{a}{2}$时，即a＜2时，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-（1+a），x≤1\\-x+1-a，-1＜x＜-\frac{a}{2}\\ 3x+（a+1），x≥-\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
则当$x=-\frac{a}{2}$时，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{a}{2}）=|{-\frac{a}{2}+1}|+|{-a+a}|=2$，
解得a=6（舍）或a=-2，
③当$-1=-\frac{a}{2}$时，即a=2，f（x）=3|x+1|，
此时f（x）_min=0，不满足条件，
综上所述，a=6或a=-2；
（2）由题意知，m+n=6，
∵（m+n）²=m²+n²+2mn≤（m²+n²）+（m²+n²）=2（m²+n²）当且仅当m=n=3时取“=”，
∴m²+n²≥18，所以m²+n²的最小值为18．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．