Question

17．已知关于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的零点与方程根的关系，通过函数的导数求解函数斜率，然后求解a的范围即可．

解答 解：关于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三个不同的实数解，
就是函数y=$\frac{1}{x+2}$与y=a|x|的图象有3个交点，
函数y=$\frac{1}{x+2}$关于（-2，0）对称，x＞-2时，函数值大于0，而y=a|x|是折线，
显然x＞0，a＞0时，两个函数一定有一个交点，
x＜0时，y′=-$\frac{1}{（{x+2）}^{2}}$，设切点（m，n），
则：-$\frac{1}{（m+2）^{2}}=\frac{\frac{1}{m+2}}{m}$，解得m=-1，所以a=1时，
函数y=$\frac{1}{x+2}$与y=-ax相切，函数（x＜0）有两个交点，必须a＞1，
综上，a＞1时，关于x的方程$\frac{1}{x+2}=a|x|$有三个不同的实数解，
故选：C．

点评 本题考查函数的导数以及函数的零点判定定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．