Question

7．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+sin（{x+\frac{π}{4}}）sin（{x-\frac{π}{4}}）$，若$x={x_0}（{0≤{x_0}≤\frac{π}{2}}）$为函数f（x）的一个零点，则cos2x₀=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．

Answer 1

分析 先根据三角函数的化简得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，再根据函数零点得到sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，利用同角的三角形函数的关系和两角和的余弦公式即可求出．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+sin（{x+\frac{π}{4}}）sin（{x-\frac{π}{4}}）$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令f（x₀）=0，
∴2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
∴sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$
∵0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos2x₀=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{5}+1}}{8}$

点评 本题考查额三角函数的化简，重点掌握二倍角公式，两角和的正弦和余弦公式，以及函数零点的问题，属于中档题