Question

3．已知△ABC的面积为15$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{CD}$=0，∠BAC=120°
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值；
（2）若AB=10，求AD的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式可得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=60，再根据向量的数量积公式计算即可，
（2）根据余弦定理求出BC，再根据余弦定理求出cosB，再根据余弦定理即可求出AD．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为15$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=60，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=60×（-$\frac{1}{2}$）=-30；
（2）∵$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{CD}$=0，
∴D为BC的中点，
∵AB=10，∴AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$\sqrt{100+36+60}$=14．
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=7，
∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{100+196-30}{2×10×14}$=$\frac{13}{14}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BDcosB}$=$\sqrt{100+49-2×10×7×\frac{13}{14}}$=$\sqrt{19}$

点评 本题考查了向量的数量积的运算和三角形的面积公式以及余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．