Question

8．若曲线y=ax²在曲线y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方，则a的取值范围为[1，+∞）．

Answer 1

分析 由曲线y=ax²在曲线y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方得到a＞$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，构造函数f（x）=$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，x＞1，利用导数求出函数最大值即可．

解答 解：∵曲线y=ax²在曲线y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方
∴ax²-$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$＞0，在（1，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，
设f（x）=$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，x＞1，
∴f′（x）=$\frac{1-6{x}^{2}}{（2{x}^{3}-x）^{2}}$＜0在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）=1，
∴a≥1
故答案为：[1，+∞）

点评 本题考查了函数恒成立的问题，以及导数的应用，考查了学生的计算能力和转化能力，属于中档题