Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），且a₁=a₁₀，则首项a₁所有可能取值中最大值为16．

Answer 1

分析 各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，或a_n+1a_n=1．又a₁=a₁₀，a₉a₁₀=1，应该使得a₉取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，或a_n+1a_n=1．
又a₁=a₁₀，a₉a₁₀=1，应该使得a₉取得最小值．
根据a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，可得数列{a_n}为等比数列，公比为$\frac{1}{2}$．
取a₉=a₁×$（\frac{1}{2}）^{8}$，a₁＞0．又a₉=$\frac{1}{{a}_{10}}=\frac{1}{{a}_{1}}$，
∴${a}_{1}^{2}$=2⁸，
解得a₁=2⁴=16．
∴a₁的最大值是16．
故答案为：16．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．