Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式可得a_n．
（II）$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵a₂=8，S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1．
可得a₁=S₁=$\frac{{a}_{2}}{2}$-2=2，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-n-1-$（\frac{{a}_{n}}{2}-n）$，化为：a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），∴数列{a_n+1}是等比数列，第二项为9，公比为3．
∴a_n+1=9×3^n-2=3ⁿ．对n=1也成立．
∴a_n=3ⁿ-1．
（II）$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．
∴数列{$\frac{2×{3}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．