Question

15．如图，在四棱锥中P-ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，PA=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD是直角梯形，推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC．
（2）点M可能是线段PD的一个三等分点（靠近点D），再证明当M是线段PD的三等分点时，二面角M-AC-D的大小为45^°，设点B到平面MAC的距离是h，由S_△ABC•MN=S_△MAC•h，得$h=\sqrt{2}$，由此能求出BM与平面MAC所成的角．

解答 证明：（1）如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由已知$AD=CD=\sqrt{2}，BC=2\sqrt{2}$，
可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AP∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，
所以AB⊥PC．
解：（2）存在，观察图形特点，点M可能是线段PD的一个三等分点（靠近点D），
下面证明当M是线段PD的三等分点时，二面角M-AC-D的大小为45°，
过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，则MN⊥平面ABCD．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，
则∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，
因为M是线段PD的一个三等分点（靠近点D），则$MN=\frac{2}{3}，AN=\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
在四边形ABCD中求得$NG=\frac{2}{3}$，则∠MGN=45°，
所以当M是线段PD的一个靠近点D的三等分点时，二面角M-AC-D的大小为45°，
在三棱锥M-ABC中，可得${V_{M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•MN$，
设点B到平面MAC的距离是h，${V_{B-MAC}}=\frac{1}{3}{S_{△MAC}}•h$，
则S_△ABC•MN=S_△MAC•h，解得$h=\sqrt{2}$，
在Rt△BMN中，可得$BM=2\sqrt{2}$，
设BM与平面MAC所成的角为θ，则$sinθ=\frac{h}{BM}=\frac{1}{2}$，
所以BM与平面MAC所成的角为30°．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．