Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，则S₁₀₀=1306．

Answer 1

分析 a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，可得a_2n+a_2n+1=n+1．由a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，可得a₁₀₀+a₅₀=50，a₅₀+a₂₅=25，a₂₅=a₁₂+1，a₁₂+a₆=6，a₆+a₃=3，a₃=a₁+1，a₁=1．可得a₁₀₀．即可得出．

解答 解：∵a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，∴a_2n+a_2n+1=n+1，
由a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，
可得a₁₀₀+a₅₀=50，a₅₀+a₂₅=25，a₂₅=a₁₂+1，a₁₂+a₆=6，a₆+a₃=3，a₃=a₁+1，a₁=1．
可得a₁₀₀=31．
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₉₈+a₉₉）+a₁₀₀
=1+（1+1）+（2+1）+…+（49+1）+31
=$\frac{50×（1+50）}{2}$+31=1306．
故答案为：1306．

点评 本题考查了数列递推关系、分类讨论方法、分组求和、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．