Question

18．在如图所示的直角坐标系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB|=3，点C是OB上靠近O点的三等分点，若$y=\frac{k}{x}（x＞0）$函数的图象（图中未画出）与△OAB的边界至少有2个交点，则实数k的取值范围是$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．

Answer 1

分析 分类讨论，若函数与△OAB的边界AB交于两点（不含A点），则临界位置为相切，即可得出结论．

解答 解：当k＜0时显然不成立；当k=0时，直线y=0与△OAB边界有无数个交点，成立．
当k＞0时，由题设，$A（1，\sqrt{2}）$，B（3，0），C（1，0）．
若函数与△OAB的边界分别交于OA，AB，则y=f（x）应满足$f（1）=k≤\sqrt{2}$．
若函数与△OAB的边界AB交于两点（不含A点），则临界位置为相切．
由题设AB的直线方程为$\sqrt{2}x+2y-2\sqrt{2}=0$．
设切点为$（{x_0}，\frac{k}{x_0}）$，$f'（x）=-\frac{k}{x^2}$，则$f'（{x_0}）=-\frac{k}{x_0^2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x_0^2$．将切点代入直线AB方程得${x_0}=\frac{3}{2}$，$k=\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．
综上，$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．
故答案为$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．

点评 本题考查函数的图象，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．