Question

1．设双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，且一个焦点与抛物线x²=8y的焦点相同，则此双曲线的方程是（　　）

• A． $\frac{y^2}{3}-{x^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程计算可得其焦点坐标，结合题意可得双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$中有c=2，结合离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{n}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解可得n的值，由双曲线的几何性质计算可得m的值，将m、n的值代入双曲线的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线的方程为x²=8y，则其焦点为（0，2），
又由双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的一个焦点与抛物线x²=8y的焦点相同，
则有m＜0而n＞0，且c=2；
双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{n}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解可得n=3，
又由c²=n+（-m）=4；
则m=-1；
故双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．